LE MOINDRE CHOIX
Joël BRADMETZ


Avec AVX – 432, Sud part petit du 2 du mort et pose le X. Le Roi apparaît en Ouest. Quelle est la probabilité pour que la Dame soit aussi en Ouest ?

On recueille souvent la réponse suivante :

A priori, Ouest peut avoir : RD (.25)  ; R (.25)  ; D (.25)  ; Ø (.25).

A posteriori, on sait qu’il ne peut avoir que RD ou R, donc il y a une chance sur deux pour que le Roi provienne de RD et qu’il ait encore la Dame (.25 contre .25).

Note : pour simplifier l’exposé, on ne tient pas compte des places vacantes dans le calcul des probabilités, les variations sont minimes (» 1%).

Cette erreur de raisonnement classique est curieusement liée au fait qui la met en évidence : s'il a RD, Ouest n’a aucune raison particulière de choisir R plutôt que D et il fait son choix au hasard. Ouest a choisi R mais il aurait pu choisir D, donc il est deux fois moins probable qu’il choisisse R lorsqu’il a RD que lorsqu’il a R, ce que la théorie du bridge appelle le moindre choix.



Considérons un petit problème similaire sur lequel la rumeur dit que d'Alembert lui-même aurait fait une erreur.
Soit trois coffres A, B et C contenant des cartes. Ils contiennent respectivement RR, RD et DD. Je choisis un coffre au hasard, j’en extrais une carte, toujours au hasard, c'est un Roi. Quelle est la probabilité que la seconde carte du coffre soit aussi un Roi?

La plupart des gens se précipitent sur la supposée erreur de d'Alembert et répondent " une chance sur deux " puisque le Roi vient de A (RR) ou de B (RD) et que la carte restante dans ces deux coffres est un Roi et une Dame (.33 contre .33). Ils oublient que, si j'avais tiré ma carte en B, une fois sur deux je n'aurais pas eu un Roi mais une Dame, de la même façon qu'avec les honneurs groupés, une fois sur deux on joue le Roi et l'autre la Dame. Il y a donc deux chances sur trois pour que le Roi vienne de A.

En mettant cela un peu en forme (théorème de Bayes) :

p RR = p R(RR) / p R(RR) + p R(RD) = 1 / 1 + .5 = 2/3

Pour les honneurs groupés, nous écrirons :

p RD = p D(RD) / p D(RD) + p D (D) = .5 / .5 + 1 = 1/3

Pour faciliter la compréhension, une petite simulation numérique clarifie la situation.

Trois coffres.

Supposons que l’on répète 300 fois l’opération consistant à tirer un coffre puis une carte au hasard. Nous espérons obtenir :

  Coffre A. RR Coffre B. RD Coffre C. DD Total
Roi
100
50
0
150
Dame
0
50
100
150
Total
100
100
100
300

Il est clair que le Roi vient 100 fois de RR et 50 fois de RD, donc deux fois plus souvent de A que de B.

Moindre choix

Supposons que l’on répète 300 fois la partie de cartes, en négligeant les mains où Ouest n'a pas d'honneur. Nous espérons obtenir :

  Main R Main RD Main D Total
Roi
100
50
0
150
Dame
0
50
100
150
Total
100
100
100
300


Il est cette fois clair que le Roi vient deux fois moins souvent de RD que de R. Le même raisonnement peut naturellement être tenu pour la Dame. La probabilité de trouver le second honneur dans la même main n'est donc que d'environ une chance sur trois.


Enfin, le lecteur rebelle au calcul peut exposer ainsi les choses: dans 25% des cas, Ouest aura 2 honneurs, dans 50% des cas il n'en aura qu'un. L'honneur isolé est donc deux fois plus fréquent que l'honneur accompagné.
Lorsqu'un honneur apparaît, il a donc deux fois plus de chances d'être isolé que d'être accompagné.