LE MOINDRE CHOIX
Joël BRADMETZ
Avec AVX – 432, Sud part petit du 2 du mort et pose le X. Le Roi apparaît en Ouest. Quelle est la probabilité pour que la Dame soit aussi en Ouest ?
On recueille souvent la réponse suivante :
A priori, Ouest peut avoir : RD (.25) ; R (.25) ; D (.25) ; Ø (.25).
A posteriori, on sait qu’il ne peut avoir que RD ou R, donc il y a une chance sur deux pour que le Roi provienne de RD et qu’il ait encore la Dame (.25 contre .25).
Note : pour simplifier l’exposé, on ne tient pas compte des places vacantes dans le calcul des probabilités, les variations sont minimes (» 1%).
Cette erreur de raisonnement classique est curieusement liée au fait qui la met en évidence : s'il a RD, Ouest n’a aucune raison particulière de choisir R plutôt que D et il fait son choix au hasard. Ouest a choisi R mais il aurait pu choisir D, donc il est deux fois moins probable qu’il choisisse R lorsqu’il a RD que lorsqu’il a R, ce que la théorie du bridge appelle le moindre choix.
Considérons un petit problème similaire sur lequel la rumeur dit que d'Alembert lui-même aurait fait une erreur.
Soit trois coffres A, B et C contenant des cartes. Ils contiennent respectivement RR, RD et DD. Je choisis un coffre au hasard, j’en extrais une carte, toujours au hasard, c'est un Roi.
Quelle est la probabilité que la seconde carte du coffre soit aussi un Roi?
La plupart des gens se précipitent sur la supposée erreur de d'Alembert et répondent " une chance sur deux " puisque le Roi vient de A (RR) ou de B (RD) et
que la carte restante dans ces deux coffres est un Roi et une Dame (.33 contre .33).
Ils oublient que, si j'avais tiré ma carte en B, une fois sur deux je n'aurais pas eu un Roi mais une Dame, de la même façon qu'avec les honneurs groupés, une fois sur
deux on joue le Roi et l'autre la Dame. Il y a donc deux chances sur trois pour que le Roi vienne de A.
En mettant cela un peu en forme (théorème de Bayes) :
p RR = p R(RR) / p R(RR) + p R(RD) = 1 / 1 + .5 = 2/3
Pour les honneurs groupés, nous écrirons :
p RD = p D(RD) / p D(RD) + p D (D) = .5 / .5 + 1 = 1/3
Pour faciliter la compréhension, une petite simulation numérique clarifie la situation.
Trois coffres.
Supposons que l’on répète 300 fois l’opération consistant à tirer un coffre puis une carte au hasard. Nous espérons obtenir :
Coffre A. RR | Coffre B. RD | Coffre C. DD | Total | |
---|---|---|---|---|
Roi | Dame | |||
Total |
Moindre choix
Supposons que l’on répète 300 fois la partie de cartes, en négligeant les mains où Ouest n'a pas d'honneur. Nous espérons obtenir :
Main R | Main RD | Main D | Total | |
---|---|---|---|---|
Roi | Dame | |||
Total |